Byggdelen i MA-156 Matte 2 for byggstudier, UiA, våren 2015

Faglærer: Jostein Trondal

Ressurser for byggdelen (som utgjør 1/3 av hele faget).

Kurset strekker seg over 13 økter, fordelt på 13 studieuker i løpet av våren 2015. Hver økt har hovedfokus på hver sin del av pensum. Pensumet er fra Adams & Essex' Calculus, A Complete Course, 8. utgave.

Hopp til økt: 1, 2, 3, 4, T, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Formelsamling (kap. 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10 og 14.18)


Tidligere eksamensoppgaver:

Vår 2014 (løsning)

Konte høst 2014 (løsning)

Vår 2015 (løsning)

Konte høst 2015 (løsning, fasit med dataverktøy)

Nyttige dataverktøy

Geogebra:
Anbefaler siste portable versjon av beta 5 herfra: download.geogebra.org/installers/5.0/?C=M;O=D
Maxima:
sourceforge.net/projects/maxima/files/
SumatraPDF:
Anbefaler denne for å lese/printe PDF-dokumenter. Installeres på Windows slik:
  1. Last ned SumatraPDF Install.exe og start installasjonen.
  2. Aktiver Install PDF browser plugin for Firefox, Chrome and Opera i Options ved installasjon.
  3. For å aktivere PDF-lesing i Firefox:
    (Re)start Firefox. Gå til Options, Applications.
    For Content Type lik Portable Document Format,
    velg Use SumatraPDF Browser Plugin som Action.

Obligatoriske innleveringer

Krav:
I kurset må minst 2 av 3 obligatoriske innleveringer være bestått. I en oblig skal du lage oppgaver og løse dem. Du tar utgangspunkt i oppgaver som er definert som pensum, og lager oppgaver som likner. Det er nok å bytte ut et tall. Du skriver velformulerte oppgaver, og viser hvordan de kan løses. Du må lage nok oppgaver med løsning til å fylle begge sidene på ett A4-ark med normal skriftstørrelse. Oppgavene du lager skal være hentet fra relevante økter for obligen du jobber med (første oblig dreier seg om oppgaver fra økt 1-4). Du trenger ikke lager oppgaver for alle øktene, men må lage oppgaver fra minst 2 økter. For å få godkjent obligen må løsningene være riktige. Innleveringen skal være i PDF-format.
Frister:
  1. oblig (for økt 1-4) kan leveres tidligst onsdag 21. januar og senest fredag 30. januar klokka 23:59.
  2. oblig (for økt 5-8) kan leveres tidligst onsdag 18. februar og senest fredag 6. mars klokka 23:59.
  3. oblig (for økt 9-12) kan leveres tidligst onsdag 18. mars og senest fredag 24. april klokka 23:59.

Økt 1: Kjeglesnitt (Uke 2; Forelesning 7.1)

Pensum:
8.1 Conics (s.458)
Videoer:
  1. 01 Kjeglesnitt (5:33)
  2. 02 Likningen for et punkt i xy-planet (0:55)
  3. 03 Standardlikningen for linjer i xy-planet (2:36)
  4. 04 Avstand mellom to punkter i planet (1:36)
  5. 05 Parabler (4:28)
  6. 06 Refleksjon i en parabel (1:57)
  7. 07 Parabel eksempel (2:06)
  8. 08 Sirkler (2:59)
  9. 09 Ellipser (4:16)
  10. 10 Refleksjon i en ellipse (0:37)
  11. 11 Ellipse eksempel (2:02)
  12. 12 Hyperbler (4:46)
  13. 13 Fullstendig Kvadrat (1:34)
  14. 14 Identifikasjon av kjeglesnitt (2:25)
Forelesning:
Forelesning 7.1.2015. Forelesningsnotater 7.1.2015.
Formler:
Kjeglesnitt:
\(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\)
Linje:
\(Ax+By=C\)
Punkt:
\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=0\)
Sirkel:
\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\)
Avstand i planet:
\(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
Parabel med akse || med y-aksen:
\begin{align*}&y=ax^2+bx+c\\&\textrm{Akse: }x=-\frac{b}{2a}=x_0\\&\textrm{Toppunkt: }\left(x_0,y_0=-\frac{b^2}{4a}+c\right)\\&y=a(x-x_0)^2+y_0\\&\textrm{Brennpunkt: }\left(x_0,y_0+\frac{1}{4a}\right)\\&\textrm{Styrelinje: }y=y_0-\frac{1}{4a}\\&\textrm{Nullpunkter: }x=x_0\pm\sqrt{x_0^2-\frac{c}{a}}\\&\textrm{Skjæring med }y\textrm{-aksen: }y=c\end{align*}
Parabel med akse || med x-aksen:
\begin{align*}&x=ay^2+by+c\\&\textrm{Akse: }y=-\frac{b}{2a}=y_0\\&\textrm{Toppunkt: }\left(x_0=-\frac{b^2}{4a}+c,y_0\right)\\&x=a(y-y_0)^2+x_0\\&\textrm{Brennpunkt: }\left(x_0+\frac{1}{4a},y_0\right)\\&\textrm{Styrelinje: }x=x_0-\frac{1}{4a}\\&\textrm{Nullpunkter: }y=y_0\pm\sqrt{y_0^2-\frac{c}{a}}\\&\textrm{Skjæring med }x\textrm{-aksen: }x=c\end{align*}
Hyperbel med brennpunkter || med x-aksen:
\begin{align*}&\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1\\&\textrm{Senter: }(x_0,y_0)\\&\textrm{Senter-toppunkt}=a\\&\textrm{Toppunkt: }(x_0\pm a,y_0)\\&\textrm{Senter-brennpunkt }c=\sqrt{a^2+b^2}\\&\textrm{Brennpunkt: }(x_0\pm c,y_0)\\&\textrm{Eksentrisitet }\varepsilon=\frac{c}{a}\in\left<1,\infty\right>\\&\textrm{Asymptoter: }\frac{x-x_0}{a}=\pm\frac{y-y_0}{b}\end{align*}
Hyperbel med brennpunkter || med y-aksen:
\begin{align*}&\frac{(y-y_0)^2}{b^2}-\frac{(x-x_0)^2}{s^2}=1\\&\textrm{Senter: }(x_0,y_0)\\&\textrm{Senter-toppunkt}=b\\&\textrm{Toppunkt: }(x_0,y_0\pm b)\\&\textrm{Senter-brennpunkt }c=\sqrt{a^2+b^2}\\&\textrm{Brennpunkt: }(x_0,y_0\pm c)\\&\textrm{Eksentrisitet }\varepsilon=\frac{c}{b}\in\left<1,\infty\right>\\&\textrm{Asymptoter: }\frac{x-x_0}{a}=\pm\frac{y-y_0}{b}\end{align*}
Ellipse:
\begin{align*}&\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1\\&\textrm{Senter: }(x_0,y_0)\\&\textrm{Storeradius}=S=\max(a,b)\\&\textrm{Lilleradius}=L=\min(a,b)\\&\textrm{Senter-brennpunkt }c=\sqrt{S^2-L^2}\\&\textrm{Eksentrisitet }\varepsilon=\frac{c}{S}\in\left[0,1\right>\end{align*}
Fullstendig kvadrat:
\(ax^2+bx+c=a\biggl(x+\frac{b}{2a}\biggr)^{\!\!2}-\frac{b^2}{4a}+c\)
Ordliste:
Conics = Kjeglesnitt, Focus/Foci = Brennpunkt/Brennpunkter, Semi-major/Semi-minor axis = Storeradius/Lilleradius (ellipser), Vertex = Toppunkt, Axis = Akse, Semi-transverse axis = Senter-toppunkt, Semi-conjucate axis = Avstanden som står vinkelrett på Senter-toppunkt, Semi-focal separation = Senter-brennpunkt (hyperbler).
Linker:
http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section
Oppgaver:
8.1 (s.468): 1, 2,3, (4),5, 6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.Løsningsforslag.
Sag

Økt 2: Parameterfremstilling (Uke 3; Forelesning 14.1)

Pensum:
8.2 Parametric Curves (s.469)
Videoer:
  1. 15 Parameterfremstilling (5:39)
  2. 16 Parameterfremstilling eksempel (14:08)
  3. 17 Parameterfremstilling av linje, sirkel og ellipse (2:27)
Forelesning:
Forelesning 14.1.2015. Forelesningsnotater 14.1.2015.
Formler:
Linje:
\(\left\{\begin{array}{l}x=x_0+t(x_1-x_0)\\y=y_0+t(y_1-y_0)\end{array}\right.\quad(-\infty < t < \infty)\)
Sirkel:
\(\left\{\begin{array}{l}x=r\cos(t)\\y=r\sin(t)\end{array}\right.\quad(0 < t < 2\pi)\)
Ellipse:
\(\left\{\begin{array}{l}x=a\cos(t)\\y=b\sin(t)\end{array}\right.\quad(0 < t < 2\pi)\)
Resiproke funksjoner:
\(\begin{align*} \csc(\theta)&=\frac{1}{\sin(\theta)}\\ \sec(\theta)&=\frac{1}{\cos(\theta)}\\ \cot(\theta)&=\frac{1}{\tan(\theta)}\end{align*}\)
Geogebra:
Parameterfremstilling:
Curve[f(t),g(t),t,a,b]
Linker:
http://en.wikipedia.org/wiki/Parametric_equation
Sammenhenger mellom trig. og invers trig. funksjoner (Wikipedia)
Oppgaver:
8.2 (s.474): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,Utforsk med Geogebra: (23), (24), (25), (26), (27), (28).Løsningsforslag.
Trillebår

Økt 3: Glatte parameteriserte kurver, stigning (Uke 4; Forelesning 21.1)

Pensum:
8.3 Smooth Parametric Curves and Their Slopes (s.476)
Videoer:
  1. 18 Glatte parameteriserte kurver (4:45)
  2. 19 Tangenter og normaler til parameteriserte kurver (2:02)
  3. 20 Tangenter og normaler til parameteriserte kurver eksempel (7:03)
  4. 21 Skisse av parameteriserte kurver (16:24)
Forelesning:
Forelesning 21.1.2015. Forelesningsnotater 21.1.2015.
Formler:
Horisontale tangenter:
\(y'=0\)
Vertikale tangenter:
\(x'=0\)
Tangent til parameterisert kurve:
\(\left\{\begin{array}{l}x=f(t_0)+f'(t_0)(t-t_0)\\y=g(t_0)+g'(t_0)(t-t_0)\end{array}\right.\quad(-\infty < t < \infty)\)
Normal til parameterisert kurve:
\(\left\{\begin{array}{l}x=f(t_0)+g'(t_0)(t-t_0)\\y=g(t_0)-f'(t_0)(t-t_0)\end{array}\right.\quad(-\infty < t < \infty)\)
Oppgaver:
8.3 (s.479): 1, 2, 3, 4, 5, 8,9, 10, 11, 12,13, 14,21, 23, 24.Løsningsforslag.
Oppgavetekst:
I oppgave 1-8, finn koordinatene til
punktene der den parametriske kurven har
(a) en horisontal tangent og
(b) en vertikal tangent.
\(1.\ x=t^2+1,\ y=2t-4\)
\(2.\ x=t^2-2t,\ y=t^2+2t\)
\(3.\ x=t^2-2t,\ y=t^3-12t\)
\(4.\ x=t^3-3t,\ y=2t^3+3t^2\)
\(5.\ x=te^{-t^2/2},\ y=e^{-t^2}\)
\(8.\ x=\frac{3t}{1+t^3},\ y=\frac{3t^2}{1+t^3}\)
Finn stigningstallet til kurvene i oppgave
9-12 ved punktene som er oppgitt.
\(9.\ x=t^3+t,\ y=1-t^3,\ \textrm{ved }t=1\)
\(10.\ x=t^4-t^2,\ y=t^3+2t,\ \textrm{ved }t=-1\)
\(11.\ x=\cos2t,\ y=\sin t,\ \textrm{ved }t=\pi/6\)
\(12.\ x=e^{2t},\ y=te^{2t},\ \textrm{ved }t=-2\)
Finn parameterfremstillinger til tangentene
til kurvene i oppgave 13-14 ved de oppgitte
punktene.
\(13.\ x=t^3-2t,\ y=t+t^3,\ \textrm{ved }t=1\)
\(14.\ x=t-\cos t,\ y=1-\sin t,\ \textrm{ved }t=\pi/4\)

I oppgave 21-25, skissér grafene til de gitte parametriske kurvene ved å lage fortegnskjema.
\(21.\ x=t^2-2t,\ y=t^2-4t\)
\(23.\ x=t^3-3t,\ y=\frac{2}{1+t^2}\)
\(24.\ x=t^3-3t-2,\ y=t^2-t-2\)
Hjelm

Økt 4: Buelengde og arealer til parametriske kurver (Uke 5; Forelesning 28.1)

Pensum:
8.4 Arc Lengths and Areas for Parametric Curves (s.479)
Videoer:
  1. 22 Lengden til en parameterisert plankurve (4:00)
  2. 23 Lengden til en parameterisert plankurve eksempel (9:47)
  3. 24 Arealet til omdreiningslegeme (1:35)
  4. 25 Arealet til omdreiningslegeme eksempel (7:25)
  5. 26 Simpel lukket kurve (1:22)
  6. 27 Arealet innenfor en simpel lukket kurve (2:30)
  7. 28 Arealet innenfor en simpel lukket kurve eksempel (5:33)
Forelesning:
Forelesning 28.1.2015. Forelesningsnotater 28.1.2015.
Formler:
Buelengdedifferensialen til en parameterisert kurve:
\(ds=\frac{ds}{dt}dt=\sqrt{\left(\frac{ds}{dt}\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\)
Lengden til en glatt kurve:
\(s=\int_{t=a}^{t=b}ds=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\)
Overflatearealet ved omdreining om x-aksen:
\(S=2\pi\int_{t=a}^{t=b}|y|\,ds=2\pi\int_a^b|g(t)|\sqrt{(f'(t))^2+(g'(t))^2}\,dt\)
Overflatearealet ved omdreining om y-aksen:
\(S=2\pi\int_{t=a}^{t=b}|x|\,ds=2\pi\int_a^b|f(t)|\sqrt{(f'(t))^2+(g'(t))^2}\,dt\)
Areal til en simpel, lukket kurve:
\(\begin{align*}A&=\left|\int_a^bg(t)f'(t)\,dt\right|\textrm{ hvis }g\textrm{ er kontinuerlig og }f\textrm{ er deriverbar}\\A&=\left|\int_a^bf(t)g'(t)\,dt\right|\textrm{ hvis }f\textrm{ er kontinuerlig og }g\textrm{ er deriverbar}\end{align*}\)
Geogebra:
Omdreining om x-aksen:
Surface[f(t),g(t)*cos(u),g(t)*sin(u),t,a,b,u,0,2pi]
Omdreining om y-aksen:
Surface[f(t)*cos(u),g(t),f(t)*sin(u),t,a,b,u,0,2pi]
Oppgaver:
8.4 (s.483): 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8,11, 13,15.Løsningsforslag.
Redningsbøye

Økt T: Alternativ ekstraøkt ved behov for repetisjon av trigonometri

Videoer:
  1. Trig 01 Vinkler (14:42)
  2. Trig 02 Trigonometri 1 (12:58)
  3. Trig 03 Trigonometri 2 (15:06)
  4. Trig 04 Eksakte trigonometriske verdier (11:19)
  5. Trig 05 Radianer (12:25)
  6. Trig 06 Cosinus og invers cosinus (14:43)
  7. Trig 07 Sinus og invers sinus (15:20)
  8. Trig 08 Tangens og invers tangens (14:03)
  9. Trig 09 Trigonometriske likninger eksempel (15:14)
  10. Trig 10 Eksakte løsninger (15:16)
  11. Trig 11 cos(kx), sin(kx) og tan(kx) (11:12)
Formler:
Eksakte trigonometriske verdier:
\( \begin{array}{ccccc} \hline \theta&\textrm{grader}&\sin(\theta)&\cos(\theta)&\tan(\theta)\\ \hline 0&0^{\circ}&0&1&0\\ \pi/6&30^{\circ}&1/2&\sqrt3/2&\sqrt3/3\\ \pi/4&45^{\circ}&\sqrt2/2&\sqrt2/2&1\\ \pi/3&60^{\circ}&\sqrt3/2&1/2&\sqrt3\\ \pi/2&90^{\circ}&1&0&\pm\infty\\ 2\pi/3&120^{\circ}&\sqrt3/2&-1/2&-\sqrt3\\ 3\pi/4&135^{\circ}&\sqrt2/2&-\sqrt2/2&-1\\ 5\pi/6&150^{\circ}&1/2&-\sqrt3/2&-\sqrt3/3\\ \pi&180^{\circ}&0&-1&0\\ 7\pi/6&210^{\circ}&-1/2&-\sqrt3/2&\sqrt3/3\\ 5\pi/4&225^{\circ}&-\sqrt2/2&-\sqrt2/2&1\\ 4\pi/3&240^{\circ}&-\sqrt3/2&-1/2&\sqrt3\\ 3\pi/2&270^{\circ}&-1&0&\pm\infty\\ 5\pi/3&300^{\circ}&-\sqrt3/2&1/2&-\sqrt3\\ 7\pi/4&315^{\circ}&-\sqrt2/2&\sqrt2/2&-1\\ 11\pi/6&330^{\circ}&-1/2&\sqrt3/2&-\sqrt3/3\\ 2\pi&360^{\circ}&0&1&0 \end{array} \)
Enhetsformelen:
\(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \)
Definisjon av tangens:
\(\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \)
Radianer fra grader:
\(r=\frac{g^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot2\pi\approx\frac{g^{\circ}}{57.296} \)
Grader fra radianer:
\(g^{\circ}=\frac{r}{2\pi}\cdot360^{\circ}\approx r\cdot57.296 \)
Derivert (med radianer):
\(\begin{align*} \sin(\theta)'&=\cos(\theta)\\ \cos(\theta)'&=-\sin(\theta)\\ \tan(\theta)'&=\frac{1}{\cos^2(\theta)}=1+\tan^2(\theta)\end{align*} \)
Invers sinus:
\(\sin^{-1}(\theta)=\left\{\begin{array}{l}v_0+2k\pi\\\pi-v_0+2k\pi\end{array}\right.\quad\textrm{der }\quad\left.\begin{array}{l}\theta\in[-1,1],\\v_0\in[-\pi/2,\pi/2],\\\pi-v_0\in[\pi,3\pi/2],\\k\in\mathbb{Z}\end{array}\right.\)
Invers cosinus:
\(\cos^{-1}(\theta)=\left\{\begin{array}{l}v_0+2k\pi\\2\pi-v_0+2k\pi\end{array}\right.\quad\textrm{der }\quad\left.\begin{array}{l}\theta\in[-1,1],\\v_0\in[0,\pi],\\2\pi-v_0\in[\pi,2\pi],\\k\in\mathbb{Z}\end{array}\right.\)
Invers tangens:
\(\tan^{-1}(\theta)=v_0+k\pi\quad\textrm{ der }\quad\left.\begin{array}{l}\theta\in \left< -\infty,\infty \right> ,\\v_0\in[-\pi/2,\pi/2],\\k\in\mathbb{Z}\end{array}\right.\)
Sin, cos og tan av inverse trigonometriske funksjoner:
\( \begin{align*} \sin(\sin^{-1}x)&=x \quad & \cos(\sin^{-1}x)&=\sqrt{1-x^2} \quad & \tan(\sin^{-1}x)&=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\\[1mm] \sin(\cos^{-1}x)&=\sqrt{1-x^2} \quad & \cos(\cos^{-1}x)&=x \quad & \tan(\cos^{-1}x)&=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\\[1mm] \sin(\tan^{-1}x)&=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \quad & \cos(\tan^{-1}x)&=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \quad & \tan(\tan^{-1}x)&=x \end{align*} \)
Linker:
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities
http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html
Fare

Økt 5: Polare koordinater og polare grafer (Uke 6; Forelesning 4.2)

Pensum:
8.5 Polar Coordinates and Polar Curves (frem til s.488 Intersections)
Videoer:
  1. 29 Polare koordinater (5:01)
  2. 30 Polare likninger (2:29)
  3. 31 Polar til kartesisk (2:52)
  4. 32 Polare likninger med konstant radius eller vinkel (2:03)
  5. 33 Rotasjon av polar graf (2:32)
  6. 34 Skisse av polare funksjoner (9:03)
  7. 35 Retningen til en polar graf i origo (3:20)
  8. 36 Rask skisse av polar graf (8:06)
Forelesning:
Forelesning 14.2.2014, med gjennomgang av oppgave 8.5.1, 8.5.4, 8.5.5 og 8.5.15.
Forelesning 4.2.2015. Forelesningsnotater 4.2.2015.
Formler:
Sammenheng mellom
kartesiske og polare
koordinater:
\(\begin{align*} x&=r\cos(\theta)\\ y&=r\sin(\theta)\\ x^2+y^2&=r^2\\ \frac{y}{x}&=\tan(\theta)\end{align*} \)
Rotasjon av polar graf:
\(\begin{align*} &\textrm{Den polare grafen }r=f(\theta-\theta_0)\textrm{ er den polare}\\ &\textrm{grafen }r=f(\theta)\textrm{ rotert vinkelen }\theta_0\textrm{ om origo.}\\\end{align*} \)
Retningen til en polar graf i origo:
\(\begin{align*} &\textrm{Den polare grafen }r=f(\theta)\textrm{ nærmer seg origo fra}\\ &\textrm{retningen }\theta\textrm{ for de verdiene av }\theta\textrm{ som gjør at }f(\theta)=0\textrm{.}\\\end{align*} \)
Geogebra:
Plotting av polar graf r = f(t):
Curve[f(t)*cos(t),f(t)*sin(t),0,2pi]
Linker:
Arbeidsark for polare grafer
Oppgaver:
8.5 (s.489): 1, 2, 3, 4, (5), 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.Løsningsforslag.
Murvegg

Økt 6: Skjæringspunkt, Areal og buelengde til polare grafer (Uke 7; Forelesning 11.2)

Pensum:
8.5 Polar Coordinates and Polar Curves, s. 488 (Intersections of Polar Curves)
8.6 Slopes, Areas, and Arc Lengths for Polar Curves
Videoer:
  1. 37 Skjæringspunkt til polare grafer (5:32)
  2. 38 Skjæringspunkt til polare grafer eksempel del 1 (10:29)
  3. 39 Skjæringspunkt til polare grafer eksempel del 2 (8:39)
  4. 40 Areal til polare grafer (14:37)
  5. 41 Lengden til polare grafer (0:42)
  6. 42 Lengden til polare grafer eksempel (2:15)
Forelesning:
Forelesning 21.2.2014, med gjennomgang av oppgave 8.5.25 og 8.6.4.
Forelesning 11.2.2015. Forelesningsnotater 11.2.2015.
Formler:
Skjæringspunkt til polare grafer:
\(\begin{align*} &r=f(\theta)\textrm{ og }r=g(\theta)\textrm{ har mulige skjæringspunkt i 3 tilfeller:}\\ &\textrm{1. I origo hvis både }f(\theta)=0\textrm{ og }g(\theta)=0\textrm{ har minst en løsning hver.}\\ &\textrm{2. Alle punkter }\left[g(\theta_i),\theta_i\right]\textrm{ der }\theta_i\textrm{ er løsningene til likningen }f(\theta)=g(\theta).\\ &\textrm{3. Alle punkter }\left[g(\theta_i),\theta_i\right]\textrm{ der }\theta_i\textrm{ er løsningene til likningen }f(\theta+(2k+1)\pi)=-g(\theta).\\\end{align*} \)
Areal til polare grafer:
\(\begin{align*} &\textrm{Området begrenset av grafen til }r=f(\theta)\textrm{,}\\ &\textrm{og strålene }\theta=\alpha\textrm{ og }\theta=\beta\textrm{ }(\alpha < \beta)\textrm{ har arealet}\\ &\qquad\qquad A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}(f(\theta))^2\,d\theta\end{align*} \)
Lengden til polare grafer:
\(\begin{align*} &\textrm{Grafen til }r=f(\theta)\textrm{ fra }\theta=\alpha\\ &\textrm{til }\theta=\beta\textrm{ }(\alpha < \beta)\textrm{ har lengden}\\ &s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(f'(\theta))^2+(f(\theta))^2}\,d\theta\end{align*} \)
Oppgaver:
8.5 (s.489): 25, 27.
8.6 (s.493): 1, 2, 4, 5,7, 9, 11,12.Løsningsforslag.
Tommestokk

Økt 7: Analytisk geometri i tre dimensjoner (Uke 8; Forelesning 18.2)

Pensum:
10.1 Analytic Geometry in Three Dimensions (s.564)
Videoer:
  1. 43 Kartesiske 3d-koordinater (5:18)
  2. 44 Avstand mellom punkter i rommet (0:39)
  3. 45 Avstand mellom punkter i rommet eksempel (9:49)
  4. 46 Noen likninger og ulikheter med x, y og z (8:36)
  5. 47 Noen par av likninger med x, y og z (2:30)
Forelesning:
Forelesning 28.2.2014, med gjennomgang av oppgave 10.1.(6, 7, 12, 13, 15, 16 og 19).
Forelesning 18.2.2015. Forelesningsnotater 18.2.2015.
Formler:
Avstand i rommet:
\(r=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)
Pytagoras:
\(\angle BAC=90^{\circ}\,\Leftrightarrow\,|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2\)
Cosinussetningen:
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\theta)\)
Linker:
Arbeidsark for 3D-grafer
Oppgaver:
10.1 s.569: 1, 2, 3, 4,5,6,7,8,9,12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21,
24, 25, 26, 29.Løsningsforslag.
Hammer

Økt 8: Vektorer (Uke 9; Forelesning 25.2)

Pensum:
10.2 Vectors (s.570)
Videoer:
  1. 48 Vektorer (6:15)
  2. 49 Vektoren mellom to punkter (2:23)
  3. 50 Addisjon og Subtraksjon av vektorer (6:03)
  4. 51 Tall ganger vektor (2:21)
  5. 52 Lengden til en vektor (1:11)
  6. 53 Enhetsvektor (3:54)
  7. 54 Prikkprodukt (8:51)
  8. 55 Projeksjon (3:48)
Forelesning:
Forelesning 7.3.2014, med gjennomgang av oppgave 10.2.3 og 10.2.18.
Forelesning 25.2.2015 (dessverre uten lyd). Forelesningsnotater 25.2.2015.
Formler:
Basis for kartesisk rom:
\(\vec{\imath}=\!\!\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\!\!,\ \vec{\jmath}=\!\!\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\!\!,\ \vec{k}=\!\!\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\)
Vektor i rommet:
\(\vec{v}=v_1\vec{\imath}+v_2\vec{\jmath}+v_3\vec{k}\)
Likhet mellom to vektorer:
\(\vec{v}=\vec{u}\ \Leftrightarrow\ v_1=u_1\textrm{ og } v_2=u_2\textrm{ og } v_3=u_3\)
Vektoren fra A til B:
\(\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1)\vec{\imath}+(b_2-a_2)\vec{\jmath}+(b_3-a_3)\vec{k}\)
Tall ganger vektor:
\(t\cdot\vec{v}=t v_1\vec{\imath}+t v_2\vec{\jmath}+t v_3\vec{k}\)
Addisjon/Subtraksjon:
\(\vec{u}\pm\vec{v}=(u_1\pm v_1)\vec{\imath}+(u_2\pm v_2)\vec{\jmath}+(u_1\pm v_1)\vec{k}\)
Vektor i andre:
\(\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^2\)
Prikkprodukt:
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\theta\)
Vinkel mellom to vektorer:
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\right)\)
Prikkprodukt ift vinkelrett:
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\ \Leftrightarrow\ \vec{u}\bot\vec{v}\)
Enhetsvektor:
\(\hat{v}=\frac{1}{|\vec{v}|}\cdot\vec{v}\)
Lengden til en vektor:
\(|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\)
Skalarprojeksjonen av u langs v:
\(s=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}=|\vec{u}|\cdot\cos\theta\)
Vektorprojeksjonen av u langs v:
\[\vec{u}_{\vec{v}}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\cdot\hat{v}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|^2}\cdot\vec{v}\]
Oppgaver:
10.2: 1, 2, 3, 4,18.Løsningsforslag.
Oppgavetekst:
1. Uttrykk hver av de følgende vektorene som en lineær kombinasjon av standard basisvektorer i og j i planet.
2-3. Regn ut følgende for de gitte vektorene u og v: (a) u+v, u-v, 2u-3v, (b) lengdene |u| og |v|, (c) enhetsvektorene û og v i retningene til hhv u og v, (d) prikkproduktet uv, (e) vinkelen mellom u og v, (f) skalarprojeksjonen av u på v, (g) vektorprojeksjonen av v på u.
4. Bruk vektorer for å vise at trekanten er rettvinklet.
18. Finn de tre vinklene i trekanten.
Sementblander

Økt 9: Kryssprodukt (Uke 10; Forelesning 4.3)

Pensum:
10.3 The Cross Product in 3-Space (s.580)
Videoer:
  1. 56 Kryssprodukt (3:04)
  2. 57 Kryssprodukt metode (5:34)
  3. 58 Kryssprodukt egenskaper (6:52)
  4. 59 Noen formler med kryssprodukt (6:55)
Forelesning:
Forelesningen 21.3.2014 er dessverre ikke tilgjengelig på video.
Forelesning 4.3.2015. Forelesningsnotater 4.3.2015.
Formler:
Utregning:
\begin{align*}&\vec{u}\times\vec{v}=\left[\begin{array}{@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}} u_2 & & u_3 & & u_1 & & u_2 \\[-1.5mm] &\times & & \times & &\times &\\[-2mm] v_2 & & v_3 & & v_1 & & v_2 \end{array}\right]\\ &=(u_2v_3-u_3v_2)\vec{\imath}+(u_3v_1-u_1v_3)\vec{\jmath}+(u_1v_2-u_2v_1)\vec{k} \end{align*}
Vinkel mellom u og v:
\(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{|\vec{u}\times\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\right)\)
Areal av trekant:
\(A=\frac{1}{2}|\vec{u}\times\vec{v}|\)
Areal av parallellogram:
\(A=|\vec{u}\times\vec{v}|\)
Egenskaper:
\begin{align*} (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}&=0\\ (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}&=0\\ |\vec{u}\times\vec{v}|&=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\sin(\theta)\\ \vec{u}\times\vec{u}&=\vec{0}\\ \vec{u}\times\vec{v}&=\vec{0}\quad\Leftrightarrow\quad\vec{u}\,||\,\vec{v}\\ \vec{u}\times\vec{v}&=-\vec{v}\times\vec{u}\quad(\textrm{antikommutativ})\\ (\vec{u}+\vec{v})\times\vec{w}&=\vec{u}\times\vec{w}+\vec{v}\times\vec{w}\quad(\textrm{distributiv}\\ \vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})&=\vec{u}\times\vec{v}+\vec{v}\times\vec{w}\quad\,\,\textrm{over addisjon})\\ (t\cdot\vec{u})\times\vec{v}&=\vec{u}\times(t\cdot\vec{v})=t\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\\ \vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})&\neq(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}\quad\textrm{(ikke assosiativ)}\\ \end{align*}
Det skalare trippelproduktet:
\(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\)
Volumet til et parallellepiped:
\(V=|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})|\)
Volumet til et tetraeder:
\(V=\frac{1}{6}|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})|\)
Koplanaritet:
\(\vec{u}, \vec{v} \textrm{ og } \vec{w} \textrm{ er koplanære }\quad\Leftrightarrow\quad\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0\)
Oppgaver:
10.3: 1, 2,3, 4,5, 6,15.Løsningsforslag.
Drill

Økt 10: Plan i rommet (Uke 11; Forelesning 11.3)

Pensum:
10.4 Planes and Lines (s.587)
Videoer:
  1. 60 Plan i rommet (5:57)
  2. 61 Plan i rommet eksempel (1:35)
  3. 62 Plan i rommet eksempel 2 (1:52)
  4. 63 Plan i rommet - Skjæring med koordinataksene (2:47)
  5. 64 Plan i rommet - Skjæring med koordinataksene eksempel (3:43)
  6. 65 Planpensel (5:23)
  7. 66 Planpensel eksempel (4:35)
Forelesning:
Forelesning 28.3.2014, med gjennomgang av oppgave 10.4: 2, 6, 7, 8
Forelesning 11.3.2015. Forelesningsnotater 11.3.2015.
Formler:
Definisjoner for plan i rommet:
\begin{align*} \textrm{Punkt planet går gjennom:} & & P_0&=(x_0,y_0,z_0)\\ \textrm{Retningsvektor til punktet:} & & \vec{r}_0&=x_0\vec{\imath}+y_0\vec{\jmath}+z_0\vec{k}\\ \textrm{Vilkårlig punkt i planet:} & & P&=(x,y,z)\\ \textrm{Retningsvektor til punktet:} & & \vec{r}&=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}\\ \textrm{Normalvektor til planet:} & & \vec{n}&=A\vec{\imath}+B\vec{\jmath}+C\vec{k}\\ \end{align*}
Likning for plan på vektorform:
\(\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)=0\)
Likning 1 for plan på standardform:
\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
Likning 2 for plan på standardform:
\(Ax+By+Cz=D\qquad\textrm{der}\qquad D=Ax_0+By_0+Cz_0\)
Skjæring med koordinataksene:
\begin{align*} \textrm{Hvis }A\neq0\textrm{, }B\neq0\textrm{ og }C\neq0\textrm{ så skjærer planet i}\\ \left(\frac{D}{A},0,0\right)\textrm{, }\left(0,\frac{D}{B},0\right)\textrm{ og }\left(0,0,\frac{D}{C}\right) \end{align*}
Skjæring med koordinataksene II:
\begin{align*} \textrm{Et plan som går gjennom } (a,0,0)\textrm{, }(0,b,0)\textrm{ og }(0,0,c)\\ \textrm{kan skrives på formen } \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\qquad\qquad \end{align*}
Planpensel:
\(A_1x+B_1y+C_1z-D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z-D_2)=0\)
Oppgaver:
10.4: 2, 3, 4, 5,6,7,8, 9.Løsningsforslag.
Spade

Økt 11: Linjer og avstander i rommet, Sylindriske og sfæriske koordinater (Uke 12; Forelesning 18.3)

Pensum:
10.4 Planes and Lines (s.587) og 10.6 Cylindrical and Spherical Coordinates (s.598)
Videoer:
  1. 67 Linjer i rommet (5:15)
  2. 68 Linjer i rommet eksempl 1 og 2 (4:49)
  3. 69 Linjer i rommet eksempel 3 (6:18)
  4. 70 Avstander mellom punkter linjer og plan i rommet (3:09)
  5. 71 Atan2 (5:45)
  6. 72 Sylindriske koordinater (3:49)
  7. 73 Sfæriske koordinater (4:27)
Forelesning:
Forelesning 4.4.2014
Forelesning 18.3.2015. Forelesningsnotater 18.3.2015.
Formler:
Definisjoner for linjer i rommet:
\begin{align*} \textrm{Punkt linja går gjennom: } & & P_0&=(x_0,y_0,z_0)\\ \textrm{Retningsvektor til punktet: } & & \vec{r}_0&=x_0\vec{\imath}+y_0\vec{\jmath}+z_0\vec{k}\\ \textrm{Vilkårlig punkt på linja: } & & P&=(x,y,z)\\ \textrm{Retningsvektor til punktet: } & & \vec{r}&=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}\\ \textrm{Retningsvektor til linja: } & & \vec{v}&=a\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+c\vec{k}\\ \end{align*}
Linje på vektor-parameterform:
\(\vec{r}=\vec{r}_0+t\cdot\vec{v}\)
Linje på skalar-parameterform:
\(\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{array}\right.\)
Linje på standardform*:
\(\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\)
*Men:
\(\textrm{Hvis f.eks. }c=0;\qquad\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b},z=z_0\)
Avstand mellom punkt og plan:
\(s=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)
Avstand mellom punkt og linje:
\(s=\frac{|(\vec{r}_0-\vec{r}_1)\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}\)
Avstand mellom to linjer:
\(s=\frac{|(\vec{r}_2-\vec{r}_1)\cdot(\vec{v}_1\times\vec{v}_2)|}{|\vec{v}_1\times\vec{v}_2|}\)
atan2 gir vinkelen til et punkt i xy-planet:
\(\textrm{atan2}(y,x)=\left\{\begin{array}{ll}\tan^{-1}(y/x)&\textrm{når }x>0\\\tan^{-1}(y/x)+\pi&\textrm{når }x<0,y\geq0\\\tan^{-1}(y/x)-\pi&\textrm{når }x<0,y<0\\\pi/2&\textrm{når }x=0,y>0\\-\pi/2&\textrm{når }x=0,y<0\\\textrm{udefinert}&\textrm{når }x=0,y=0\end{array}\right.\)
Kartesisk punkt:
\((x,y,z)\)
Sylindrisk punkt:
\([r,\theta,z]\)
Sfærisk punkt:
\([R,\phi,\theta]\)
Kartesisk til sylindrisk:
\(\begin{array}{l}r=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\textrm{atan2}(y,x)\\z=z\end{array}\)
Sylindrisk til kartesisk:
\(\begin{array}{l}x=r\cos(\theta)\\y=r\sin(\theta)\\z=z\end{array}\)
Kartesisk til sfærisk:
\(\begin{array}{l}R=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\phi=\cos^{-1}(z/R)\\\theta=\textrm{atan2}(y,x)\end{array}\)
Sfærisk til kartesisk:
\(\begin{array}{l}x=R\sin(\phi)\cos(\theta)\\y=R\sin(\phi)\sin(\theta)\\z=R\cos(\phi)\end{array}\)
Sylindrisk til sfærisk:
\(\begin{array}{l}R=\sqrt{r^2+z^2}\\\phi=\cos^{-1}(z/R)\\\theta=\theta\end{array}\)
Sfærisk til sylindrisk:
\(\begin{array}{l}r=R\sin(\phi)\\\theta=\theta\\z=R\cos(\phi)\end{array}\)
Linker:
Arbeidsark for sylinder- og kulekoordinater
Oppgaver:
10.4: 15, 16, 17, 18,20, 21, 22,26, 27, 28, 29, 30,10.6: 1, 2, 3.Løsningsforslag.
Dumper

Økt 12: Vektorfunksjoner (Uke 16; Forelesning 15.4)

Pensum:
11.1 Vector Functions of One Variable (s.623)
Videoer:
  1. 74 Vektorfunksjoner (6:51)
  2. 75 Vektorfunksjoner eksempel 1 - Sirkelbevegelse (10:20)
Forelesning:
Forelesning 11.4.2014
Forelesning 15.4.2015. Forelesningsnotater 15.4.2015.
Formler:
Posisjon:
\(\vec{r}(t)=x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}+z(t)\vec{k}\)
Hastighet:
\(\vec{v}(t)=\vec{r}\,'(t)=x'(t)\vec{\imath}+y'(t)\vec{\jmath}+z'(t)\vec{k}\)
Fart:
\(v(t)=|\vec{v}(t)|=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}\)
Akselerasjon:
\(\vec{a}(t)=\vec{v}\,'(t)=x''(t)\vec{\imath}+y''(t)\vec{\jmath}+z''(t)\vec{k}\)
Oppgaver:
11.1: 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 11.Løsningsforslag.
Tegning

Økt 13: Klotoider, Matriseregning med Excel (Uke 17; Forelesning 22.4)

Pensum:
10.7 A Little Linear Algebra (s.602)
Videoer:
  1. 76 Klotoider (11:51)
  2. 77 Matriser med Excel (10:16)
Forelesning:
Forelesning 2.5.2014
Forelesning 22.4.2015.
Formler:
Multiplikasjon:
MMULT
Invers:
INVERSE (INVERS)
Transponering:
TRANSPOSE (TRANSPONER)
Determinant:
MDETERM
Identitetsmatrise:
MUNIT
Oppgaver:
Gjøres i Excel: 10.7: 1, 2, 5, 7, 8, 17, 18,19, 20, 21.Løsningsforslag.
Laget med jQuery av The jQuery Foundation, Colorbox av Jack Moore, MathJax av the MathJax Consortium, og clipart fra webdesignhot.com.